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Quadratische Formen und der Satz von Hasse-Minkowski - Einzelansicht

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Grunddaten
Veranstaltungsart Seminar Langtext
Veranstaltungsnummer 100320 Kurztext
Semester WiSe 2022/23 SWS 2
Erwartete Teilnehmer/-innen Studienjahr
Max. Teilnehmer/-innen
Credits Belegung Zuweisung
Hyperlink
Sprache deutsch
Termine Gruppe: [unbenannt] iCalendar Export für Outlook
  Tag Zeit Rhythmus Dauer Raum Raum-
plan
Lehrperson Status Bemerkung fällt aus am Max. Teilnehmer/-innen
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Fr. 14:00 bis 16:00 woch 14.10.2022 bis 03.02.2023  Einsteinstr. 62 - M A 111 (SR 1C)        
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Fr. 10:00 bis 12:00 woch          
Gruppe [unbenannt]:
Zuweisung
 


Zugeordnete Person
Zugeordnete Person Zuständigkeit
Hellmann, Eugen, Prof. Dr. verantwort
Studiengänge
Abschluss - Studiengang Sem ECTS Bereich Teilgebiet
Bachelor Berufskollegs - Mathematik (LF 105 18) -
Bachelor Berufskollegs - Mathematik (LF 105 11) -
Zwei-Fach-Bachelor - Mathematik (L2 105 11) -
Zwei-Fach-Bachelor - Mathematik (L2 105 18) -
Prüfungen / Module
Prüfungsnummer Modul
15003 Fachwissenschaftliches Seminar - Zwei-Fach-Bachelor Mathematik Version 2018
15003 Fachwissenschaftliches Seminar - Bachelor Berufskollegs Mathematik Version 2018
15004 Fachwissenschaftliches Seminar - Bachelor Berufskollegs Mathematik Version 2011
15004 Fachwissenschaftliches Seminar - Zwei-Fach-Bachelor Mathematik Version 2011
Prüfungsorganisationssätze
Prüfungsnummer Semester Termin Prüfer/-in Abschluss
15004 20222 01 Hellmann, Eugen (Prof. Dr.) (613125) L2 105 11
15004 20222 01 Hellmann, Eugen (Prof. Dr.) (613125) LF 105 11
15003 20222 01 Hellmann, Eugen (Prof. Dr.) (613125) LF 105 18
15003 20222 01 Hellmann, Eugen (Prof. Dr.) (613125) L2 105 18
Zuordnung zu Einrichtungen
Fachbereich 10 Mathematik und Informatik
Inhalt
Kommentar

Das grundlegende Problem der algebraischen Zahlentheorie ist es zu verstehen, welche Polynomgleichungen über den ganzen oder den rationalen Zahlen ganzzahlige (oder rationale) Nullstellen haben. Im Allgemeinen ist diese Frage nicht zu beantworten. Wir werden uns in diesem Seminar aber einer speziellen Klasse von Gleichungen widmen, sogenannten quadratischen Formen, für die es eine sehr schöne geschlossene Antwort gibt, die einen der ersten wichtigen und schönen Sätze der algebraischen Zahlentheorie darstellt.

Ziel ist es, das sogenannte Hasse-Prinzip für quadratische Formen und die Klassifikation quadratischer Formen über Q zu verstehen. Eine quadratische Form über Q ist beispielsweise ein Ausdruck der Form

a x^2 + b y^2 + cz^2 + d xy +e xz + f yz

mit rationalen Zahlen a,b,c,d,e,f und Unbekannten x,y,z.

Über den reellen Zahlen ist es leicht zu entscheiden, ob eine solche quadratische Form eine (nicht-triviale) Nullstelle hat. Über den rationalen Zahlen ist dies sehr viel schwieriger. Wir werden ein sogenanntes Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen beweisen. Dazu betrachten wir nicht nur die reellen Zahlen, sondern auch die Vervollständigungen von Q an den sogenannten p-adischen Absolutbeträgen, wobei p eine beliebige Primzahl ist.

Dies führt zum Begriff des Körpers der p-adischen Zahlen Qp. Wieder stellt es sich heraus, dass es einfacher ist zu beantworten, wann eine quadratische Form q eine nicht-triviale Nullstelle in den p-adischen Zahlen hat. Das Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen (= Hasse-Prinzip = Satz von Hasse-Minkowski) besagt nun, dass eine quadratische Form q genau dann eine nicht-triviale Nullstelle in Q hat, wenn q eine nicht-triviale Nullstelle in R und in den Körpern Qp für jede Primzahl p hat.


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Die Veranstaltung wurde 1 mal im Vorlesungsverzeichnis WiSe 2022/23 gefunden: