| Kommentar |
Die Standardvorlesung Algebra vermittelt Begriffe und Resultate, die grundlegend sind für viele Gebiete der Mathematik. Wir beschäftigen uns mit Gruppen, Ringen, Polynomen, Körpern und Galois-Theorie. Die Erforschung dieser fundamentalen Strukturen hat aber auch Anwendungen auf folgende konkrete Fragestellungen.
Dem Ursprung des Wortes nach ist Algebra das "Rechnen mit und Lösen von Gleichungen". In der Linearen Algebra lernt man das Lösen linearer Gleichungen. Gegenstand der Vorlesung Algebra ist nun das Lösen von Polynomgleichungen in einer Variablen X
a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + . . . + a_1 X + a_0 = 0 ,
wobei die Koeffizienten a_n, . . . , a_0 bekannt sind. Es stellen sich die Fragen, wieviele Lösungen diese Gleichung hat, in welchem Zahlenbereich die Lösungen liegen, und wie sie sich explizit aus den Koeffizienten berechnen lassen. Die letzte und schwerste dieser Fragen lässt sich mithilfe der Galois-Theorie beantworten, welche eine tiefe und erstaunliche Verbindung zu der Theorie der Gruppen liefert, mit der wir deshalb beginnen werden. Weitere Anwendungen der Galois-Theorie beweisen die Unmöglichkeit, mithilfe von Zirkel und Lineal einen Winkel zu dritteln, sowie zu einem Kreis ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren ("Quadratur des Kreises").
|
| Literatur |
Bosch, S.: Algebra, Springer-Verlag, Berlin.
online verfügbar an der WWU unter https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-92812-6
Artin, M.: Algebra, Birkhäuser-Verlag, Basel.
Lang, S.: Algebra, Springer-Verlag, Berlin |
| Lerninhalte |
Geplante Themen der Vorlesung sind: Gruppen, Untergruppen, Normalteiler und Homomorphismen, Isomorphiesätze, elementare Ringtheorie, Körper, Automorphismen- und Galoisgruppen, Galoistheorie, Anwendungen auf Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal oder die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen. |
eG