Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit der Bestimmung und Untersuchung von Funktionen mit optimalen Eigenschaften. Dazu betrachtet man Funktionale in bestimmten Funktionenräumen und deren Minimierer.
Aufgrund zahlreicher Verbindungen zu anderen Teilbereichen der Mathematik wie Geometrie oder Differentialgleichungen und vieler Anwendungen in der Physik, der Biologie oder den Ingenieurwissenschaften spielt die Variationsrechnung eine wichtige Rolle in aktiver Forschung.
Die Vorlesung legt den Schwerpunkt auf moderne Aspekte und beschäftigt sich mit der Relevanz von Variationsmethoden für die mathematische Modellierung von Fragestellungen aus unterschiedlichen Gebieten wie der Physik oder den Materialwissenschaften.
Im ersten Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns mit der Existenz von Minimierern für vektorwertige Variationsprobleme. Hierbei diskutieren wir insbesondere geeignete Klassen von zulässigen Funktionen sowie Kriterien an Variationsfunktionale, welche die Existenz von Lösungen garantieren.
Anschließend widmen wir uns einer interessanten modernen Entwicklung, die Variationsfunktionale betrachtet, welche überhaupt keine Lösungen besitzen, obwohl sie physikalisch motivierte Problemstellungen sinnvoll beschreiben. Dies wird uns zum Konzept der Relaxation und zu einem tieferen Verständnis des Begriffs einer Lösung führen.
Schließlich beschäftigen wir uns mit sogenannten Mehrskalenproblemen, die sich nicht allein durch ein Funktional, doch vielmehr durch eine Folge von Variationsproblemen beschreiben lassen. Der Begriff der Gamma-Konvergenz wird uns hierbei helfen, die wesentlichen Aspekte von Modellen mathematisch präzise zu erfassen. |
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