Seminar zur Modelltheorie - Definierbare Gruppen in metastabilen Theorien - Einzelansicht

Beginnend mit den Arbeiten von Ax-Kochen und Ershov konnte für eine Vielzahl von modelltheoretischen Fragen über henselsch bewertete Körper gezeigt werden, dass sie sich auf Fragen über den Restklassenkörper k und die Wertegruppe \Ga zurückführen lassen. Für Modelle der Theorie ACVF der nichttrivial bewerteten algebraisch abgeschlossenen Körper ist k streng minimal (also „sehr stabil”) und \Ga o-minimal (also „ohne jeglichen stabilen Anteil”).

In ihrer Arbeit zur Imaginärenklassifikation in ACVF ([1]) und zur geometrischen Modelltheorie von ACVF ([2]) haben Haskell-Hrushovski-Macpherson metastabile Theorien eingeführt und gezeigt, dass modulo \Ga die Typen in ACVF durch k kontrolliert werden, in einem präzisen technischen Sinne, mithin ACVF metastabil ist über \Ga. Im Seminar werden wir eine Fortführung dieser Arbeiten durch Hrushovski-Rideau ([3]) studieren. Hauptthema des schon jetzt sehr einflussreichen Preprints [3] ist eine Zerlegung (typ-)definierbarer Gruppen in einer metastabilen Theorie (über \Ga) in definierbare Gruppen in \Ga sowie (stetige Vereinigungen von) stabilen Gruppen. Unter gewissen Endlichkeitsbedingungen, die sämtlich von ACVF erfüllt werden, erhält man im Fall abelscher Gruppen eine solche Zerlegung. Hieraus folgt insbesondere, dass in einem Modell von ACVF bis auf definierbaren Isomorphismus lediglich die offensichtlichen unendlichen Körper interpretierbar sind, nämlich der bewertete Körper selbst sowie der Restklassenkörper.

[1] D. HASKELL, E. HRUSHOVSKI, D. MACPHERSON, Definable sets in algebraically closed valued fields: elimination of imaginaries, J. Reine Angew. Math. vol 597 (2006), 175-236.

[2] D. HASKELL, E. HRUSHOVSKI, D. MACPHERSON, Stable domination and independence in algebraically closed valued fields, Lecture Notes in Logic vol 30, Association of Symbolic Logic, Chicago, IL, 2008.

[3] E. HRUSHOVSKI, S. RIDEAU: Valued Fields, Metastable Groups, arXiv:1709.08801v3 [math.LO], 2018, 48 pp.

[4] B. POIZAT, Stable groups, Mathematical Surveys and Monographs vol 87, American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

[5] P. SIMON, A Guide to NIP Theories, Lecture Notes in Logic vol. 44, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.

Vorbesprechung: Donnerstag, den 4. Juli 2019, 12:00 Uhr (s.t.!) in SR 1D.

Voraussetzung für alle Vorträge ist die Vorlesung Logik 2 (Grundlagen der Modelltheorie). Eine Reihe von Vorträgen setzt zudem grundlegende Resultate über die Theorie ACVF voraus, wie sie etwa in der Vorlesung Logik 4 (Modelltheorie bewerteter Körper) im SoSe 2019 behandelt wurden.

Das Seminar richtet sich primär an Studierende im Master. Es bietet die Gelegenheit zum Verfassen einer Masterarbeit.