| Kommentar |
In der algebraischen Zahlentheorie wird die Arithmetik der Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper untersucht. Der klassische Fall betrifft den Ganzheitsring Z von Q. Bei der Betrachtung z.B. des Fermatschen Problems tritt in natürlicher Weise der Ganzheitsring Z[a] im Kreiskörper Q(a) auf, wobei a eine primitive N-te Einheitswurzel ist. Bei der Untersuchung, welche Primzahl sich in der Form p=n²+m² mit ganzen Zahlen n,m schreiben lassen, kommt die Arithmetik von Z[i] im quadratischen Zahlkörper Q[i] ins Spiel. In der Zahlentheorie solcher Ganzheitsringe treten im Vergleich zur Arithmetik von Z neue Phänomene auf: In diesen Ringen ist die Zerlegung in irreduzible Elemente i.a. nicht eindeutig, und es gibt in der Regel unendlich viele Einheiten statt nur +1 und -1 im Fall von Z. Es zeigt sich aber, dass Zahlringe immerhin noch Dedekind-Ringe sind, so dass wenigstens die Zerlegung von Idealen in Primideale eindeutig ist. Die Frage, wieweit ein beliebiges Ideal davon entfernt ist, Hauptideal zu sein, führt auf die Klassengruppe eines Zahlkörpers. Ein fundamentaler Satz besagt, dass sie endlich ist. Über die Struktur der Einheitengruppen gibt ein berühmter Satz von Dirichlet Auskunft. Weitere wichtige Themen werden sein: das Zerlegungsverhalten von Primzahlen und allgemeiner von Primidealen bei Übergang zu einem größeren Zahlring und Zusammenhänge mit der Galois-Theorie, Zeta- und L-Funktionen algebraischer Zahlkörper sowie die Theorie der lokalen Körper. |
| Literatur |
J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer
G. Janusz, Algebraic number fields, Academic press
P. Samuel, Theorie algebrique des nombres, Hermann
Z. Borevic, I. Shafarevich, Number theory |
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