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Viele physikalische, chemische oder auch biologische Prozesse können mit Hilfe partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Da eine analytische Lösung der Gleichungen nur selten möglich ist, müssen numerische Verfahren angewandt werden, um das Verhalten dieser Prozesse dennoch studieren, analysieren und vorhersagen zu können. Trotz wachsender Rechenkapazitäten ist in vielen Anwendungsfällen jedoch auch eine numerische Lösung, z.B. mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode, nur unter erheblichem Aufwand zu erlangen. Es ist daher von großem Interesse Modellreduktionsverfahren zu entwickeln, welche ausgehend von solchen generischen Diskretisierungen reduzierte Modelle liefern können, die optimal an das jeweilige Problem angepasst sind.
Im ersten Teil der Vorlesung werden wir uns mit parametrisierten Differentialgleichungen beschäftigen, welche, wie z.B. bei der Designoptimierung, für zahlreiche verschiedene Parameter-Kombinationen gelöst werden sollen. Ziel der so genannten Reduzierte-Basis-Methode ist es, solche wiederholten Berechnungen zu beschleunigen, indem zunächst in einer "Offline"-Phase aus einzelnen hochdimensionalen Lösungen zu geeignet gewählten Parametern ein niedrigdimensionaler Reduzierte-Basis-Raum konstruiert wird, auf den die gegebenen Gleichungen projiziert werden. Das so erhaltene reduzierte Problem kann dann in einer folgenden "Online"-Phase effizient für neue Parameter-Werte gelöst werden.
Im zweiten Teil der Vorlesung wollen wir uns mit Mehrskalenproblemen beschäftigen, zu deren Lösung ein Verständnis des Problems auf mehreren räumlichen oder zeitlichen Skalen notwendig ist. Ein typisches Beispiel hierfür ist die Strömung von Flüssigkeiten in poröse Medien, für deren globales Verhalten (Meter bis Kilometer) die lokale Porenstruktur (Mikrometer bis Millimeter) des Mediums mitbestimmend ist. Da es zu aufwendig wäre mit globalen Diskretisierungen zu arbeiten, die das gesamte Rechengebiet auf der Mikroskala auflösen, werden wir Mehrskalenverfahren untersuchen, bei denen ein diskretes Makroskalen-Problem aufgestellt wird, in das durch Lösen fein aufgelöster lokaler Teilprobleme die relevanten Mirkoskalen-Informationen integriert sind. Schließlich werden wir einen Ausblick geben, wie für parametrisierte Probleme Mehrskalenverfahren mit der Reduzierte-Basis-Methode kombiniert werden können.
Die in der Vorlesung erarbeiteten theoretischen Kenntnisse sollen im begleitenden Praktikum durch Implementierung von verschiedenen Beispielen mit Hilfe der Modellreduktions-Software pyMOR vertieft werden. |
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